INFORME DE INVESTIGACIÓN

 

INFORME DE INVESTIGACIÓN PREVIA DE CONTENIDOS

 

 

TEMAS:

Evaluación de funciones, criterio de la línea vertical

Funciones cuadráticas, coordenadas del vértice y cortes con los ejes

 

 

ÁREA:

Matemática Aplicada

 

 

NOMBRES DE LOS ESTUDIANTES:

Michelle Karolina Molina Arteaga

María Anthonella Velásquez Murillo

 

 

NOMBRE DEL DOCENTE:

Mgtr. Ángel Enrique Arroba Cárdenas

 

 

CARRERA:

Administración de Empresas

 

NIVEL:

Primer Semestre

 

 

Portoviejo – Manabí - Ecuador

INTRODUCCIÓN

La geometría es la rama de la matemática que se dedica al estudio de las figuras en el plano espacial, sus características, clasificación y los elementos que las conforman. Para esto se emplean procesos basados en los fundamentos de la matemática algebraica, con el propósito de analizarlo profundamente a través sus campos: la geometría analítica (estudio por medio de expresiones numéricas) y la geometría descriptiva (estudio por medio de representación gráfica). A través de estos campos se pueden obtener los datos de una curva a partir de su ecuación, o en su defecto, hallar la expresión algebraica que represente una gráfica.

“El concepto de función es una de las ideas fundamentales en matemáticas. Casi cualquier estudio que se refiera a la aplicación de las matemáticas a problemas prácticos, o que requiera el análisis de datos empíricos, emplea este concepto matemático (Arya & Lardner, 2009, p. 173)”. Una función es la relación existente entre dos magnitudes diferentes, en la cual, a cada elemento inicial, conocido como variable independiente le corresponde un único elemento final, conocido como variable final.

 

EVALUACIÓN DE FUNCIONES

“La función es una relación con la restricción de que a cada elemento del dominio le corresponde uno y solo un elemento del recorrido. Por lo tanto, todas las funciones son relaciones, pero no todas las relaciones son funciones (Martínez & Portilla, 2017, p. 141)”.

Si f es una función con dominio X, entonces su gráfica es el conjunto de pares ordenados {(x, f(x)) | x ∈ X}. Es decir, la gráfica de f consta de todos los puntos (x, y) en el plano coordenado tales que y = f(x) y x está en el dominio de f. La coordenada y de cualquier punto (x, y) en el gráfico es y = f(x), se puede leer el valor de f(x) como la altura de la gráfica por encima del valor de x. (Martínez & Portilla, 2017, p. 147)

El proceso de evaluación de funciones es frecuentemente utilizado para determinar el alcance de una función. Su concepto es muy simple; consiste solamente en reemplazar el término independiente de la ecuación, que llamaremos valor de entrada, y desarrollaremos con normalidad los cálculos aritméticos y/o algebraicos, obteniendo como resultado un valor de salida. Este concepto es mayormente utilizado para realizar tablas de valores, las cuales sirven para graficar una función en base a una ecuación dada.

 

CRITERIO DE LA LÍNEA VERTICAL

“Una función de x, es una curva en el plano xy, si y sólo si una recta vertical la intercepta en un solo punto (Martínez & Portilla, 2017, p. 144)”. No toda curva graficada es una función, existe un método de comprobación fundamentado en los principios geométricos de una función que nos ayudará a determinar si se trata de una función o una relación solamente.

En una función real representada en el plano cartesiano resulta imposible trazar una recta vertical, es decir, paralela al eje de las ordenadas (eje de las y) y que ésta corte la gráfica en más de un punto. Una de las características principales de las funciones es que a cada valor dado a x le corresponde un único valor de y, basándonos en este principio se puede deducir que toda recta vertical que se intercepte con la gráfica sólo lo hará en un único punto, de lo contrario la curva no será una función.

Eso quiere decir que una recta vertical que corte la gráfica de una función y=f(x) (equivale a escoger una x) sólo lo puede hacer una vez. Al revés, si cada recta vertical que corta una gráfica de una ecuación lo hace cuando mucho en un punto, entonces la gráfica es de una función. A esta última proposición se le llama prueba de la recta vertical de una función. Cuando una recta vertical interseca una gráfica en varios puntos, el mismo número x corresponde a diferentes valores de y, lo que contradice la definición de función. (Zill & Dewar, 2012, p. 203)

 

FUNCIONES CUADRÁTICAS

Analizado el concepto de funciones profundizaremos en un tipo en particular. Las funciones se subdividen en dos grandes grupos, trascendentes y algebraicas, en ésta última se encuentran las polinómicas, familia a la que pertenece nuestro objeto de estudio. Las funciones de segundo grado, también denominadas cuadráticas son aquellas representadas con el formato:

Donde el exponente más alto en la variable es 2, los términos a, b y c son coeficientes reales y a debe de ser diferente de cero. Los términos se denominan de la siguiente manera:  es el término cuadrático,  es el término lineal y  es el término independiente. Si la ecuación posee todos sus términos se le considera una ecuación completa, en caso de carecer del término lineal o el independiente se le considerará una ecuación incompleta.

Representación gráfica de las funciones cuadráticas

La gráfica generada a partir de una función cuadrática es una curva llamada parábola. Una de sus características es la orientación, se refiere a la dirección en que se extienden los brazos o ramas de la parábola. Si el valor de es positivo la parábola se extenderá hacia arriba, en su defecto si es negativo las ramas se extenderán hacia abajo.

 

COORDENADAS DEL VÉRTICE

Éste es el punto en el cual el eje de simetría se intercepta con la parábola. Según Martínez y Portilla (2017) simetría es la correspondencia exacta en la disposición regular de las partes o puntos de un cuerpo o figura, con relación a un centro, un eje o a un plano.

Para determinar las coordenadas se utilizan las fórmulas:

En el caso de la coordenada y también cabe la posibilidad de reemplazar el valor de x en la ecuación, ya que y=f(x), al ser el valor del vértice ubicado en el eje de las abscisas el resultado será el valor en el eje de las ordenadas.

 

CORTES CON LOS EJES

Para obtener las coordenadas de las intersecciones de la parábola con el eje de las abscisas (de haberlos) se utiliza mayormente el método de la fórmula general. Cabe destacar que existen otros métodos tales como la factorización, sin embargo, no profundizaremos en ello. “Para resolver una ecuación cuadrática, podemos usar esta fórmula de la siguiente manera. En primer lugar, reducimos la ecuación a la forma estándar. Luego, identificamos a, b y c, los tres coeficientes que aparecen en la forma estándar, y simplemente sustituimos estos coeficientes en la fórmula cuadrática (Arya & Lardner, 2009, p. 75)”.

 

REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS

 

Ø  Arya, J. C. & Lardner, R. W. (2009). Matemáticas aplicadas a la administración y a la economía. Quinta edición. México: Pearson Education.

Ø  Zill, D. G. & Dewar, J. M. (2012). Álgebra, trigonometría y geometría analítica. Tercera edición. México D.F.: McGraw-Hill/Interamericana Editores, S.A. de C.V.

Ø  Martínez, B. M. & Portilla, F. R. (2017). Cálculo diferencial con Geometría analítica para Ingeniería automotriz. Quito: Editorial Universitaria Abya-Yala.

Ø  Definición de Geometría (19 de julio del 2019). Recuperado el 14 de mayo del 2020 de: https://conceptodefinicion.de/geometria/.

Ø  Matemáticas para Bachillerato (s.f.). Geometría Analítica y funciones. Recuperado el 14 de mayo de: https://mateparabachillerato.wordpress.com/geometria-analitica-y-funciones/

Ø  Tipos de funciones y su clasificación (s.f.). Recuperado el 14 de mayo del 2020 de: https://www.superprof.es/apuntes/escolar/matematicas/calculo/funciones/tipos-de-funciones.html

Ø  Función cuadrática - Definición y representación gráfica (s.f.). Recuperado el 14 de mayo del 2020 de: https://www.superprof.es/apuntes/escolar/matematicas/calculo/funciones/funcion-cuadratica.html